Question

已知T(n)=2T(n/2)+n，T（1）=1，求T(n)

Answer 1

通项是除了t(1)外全部是0

因为t(n+1)=2t(n)(t(n)-1)

你很容易看出,t(2)=0,然后通过数学归纳看出如果t(n)=0,t(n+1)=0也成立

等差数列通项公式

如果等差数列{an}，公差为d，则an=a1+(n-1)d，这就是等差数列{an}的通项公式。

1）因为an=nd+(a1-d)，所以等差数列的图象是横坐标为自然数列的同一条直线上一些分散的点，公差d的几何意义是该直线的斜率。

2）等差数列{an}的通项公式还可由以下公式确定：①an=am+(n-m)d，②am+n=(mam-nan)/(m-n)。

Answer 2

由S(n+1)=2S(n)+n+5
得S(n+1)+(n+1)+6=2[S(n)+n+6]
令b(n)=S(n)+n+6，则b(n+1)=S(n+1)+(n+1)+6
且b(n+1)=2b(n)
从而得b(n)=2^(n-1)b(1)
而b(1)=S(1)+1+6=a(1)+7=5+7=12
所以b(n)=(2^n)*6
即S(n)+n+6=(2^n)*6
得S(n)=(2^n)*6-n-6
可得
a(n)=S(n)-S(n-1)=(2^n)*6-n-6-{[2^(n-1)]*6-(n-1)-6}=(2^n)*3-1
(n≥2)
而a(1)=5满足上式，所以数列{a(n)}的通项公式为：
a(n)=(2^n)*3-1
由f(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n
则f‘(x)=a(1)+2a(2)x+……+na(n)x^(n-1)
从而得f‘(1)=a(1)+2a(2)+……+na(n)
将a(n)=(2^n)*3-1代入上式得
f'(1)=(2^1)*3-1+2[(2^2)*3-1]+……+n[(2^n)*3-1]
=3[2^1+2(2^2)+……+n(2^n)]-(1+2+……+n)
=3T(n)-n(n+1)/2
其中T(n)=2^1+2*(2^2)+……+n(2^n)
由2T(n)=2^2+2(2^3)+……+n*2^(n+1)
用上式减下式，可得
-T(n)=2^1+2^2+……+2^(n-1)-n*2^(n+1)
化简得T(n)=n*2^(n+1)-(2^n-2)
带入到f'(1)中得到：
f'(1)=3[n*2^(n+1)-(2^n-2)]-n(n+1)/2=3(2n-1)*2^n-n(n+1)/2+6