Question

设a1,a2,a3....an是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明：B1=a2+a3...as,B2=a

Answer 1

只需证明这两个向量组等价（可以相互线性表示，事实上只需证明向量组Bi，可以线性表示这原来的基础解系），即可。
具体方法是：将(B1,B2,...,Bs)=(a1,a2,...,as)P
即写成矩阵相乘的形式，其中P可逆，则说明两个向量组等价

Answer 2

证明:
因为
β1,β2,β3
是a1,a2,a3的线性组合
所以
β1,β2,β3
仍是
ax=0
的解.
又因为两个向量组的个数相同,
所以只需证β1,β2,β3线性无关.
(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)k
k
=
1
2
3
2
3
4
1
4
3
因为
|k|=4≠0,
所以
k
可逆.
所以
r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)k]=r(a1,a2,a3)=3
所以
β1,β2,β3
线性无关.
故
β1,β2,β3
是ax=0
的基础解系.