Question

证明函数周期性

Answer 1

1）证明：
函数y=f(x),关于x=a
对称,所以f(x)=f(2a-x）
函数y=f(x),关于x=b对称,所以f(x)=f(2b-x）
所以f(2a-x)=f(2b-x）
将2a-x用x代替得到f（x）=f（2b-2a+x）
故周期t=|2b-2a|=2|a-b|
2)证明：
函数y=f(x）关于(a,0)
对称,所以f(x）+f(2a-x)=0
函数y=f(x）关于(b,0)
对称,所以f(x）+f(2b-x)=0
所以f(2a-x)=f(2b-x）
将2a-x用x代替得到f（x）=f（2b-2a+x）
故周期t=|2b-2a|=2|a-b|
3）证明：
函数y=f(x）关于(a,0)
对称,所以f(x）+f(2a-x)=0
函数y=f(x),关于x=b对称,所以f(x)=f(2b-x）
所以f(2a-x)=-f(2b-x）
将2a-x用x代替得到f（x）=-f（2b-2a-x）
将x用2b-2a-x代替得f（2b-2a-x）=-f（4b-4a-x）
所以f（x）=f（4b-4a+x）
故周期t=|4b-4a|=4|a-b|
4）证明:
f(x+a)=-f(x)
将x+a用x代替得到f（x）=-f（x-a）
联立两式得到f（x-a）=f（x+a）
将x-a用x代替得到f（x）=f（x+2a）
所以周期t=2a
f(x+a）=1/-f(x)
将x+a用x代替得到f（x）=-1/f(x-a)
联立两式得到f（x-a）=f（x+a）
将x-a用x代替得到f（x）=f（x+2a）
所以周期t=2a

Answer 2

1.因为f(x)的图象关于直线x=b与x=a都对称
所以f(x)=f(2a-x)
f(x)=f(2b-x)
f(2a-x)=f(2b-x)
令2a-x=t
则x=2a-t
原式变为f(t)=f(2b-2a+t)=f(t+(2b-2a))
由于t的任意性f(x)是周期函数
且T=2b-2a.
2.因为f(x)=f(x-a)+f(x+a)
所以f(x+a)＝f(x)－f(x-a)
则f(x+6a)＝f(x+5a+a)=f(x+5a)-f(x+4a)=f(x+4a)-
f(x+3a)-f(x+3a)+f(x+2a)=...=f(x)