Question

求由曲线y=1/2x^2与y=x所围城的图形分别绕x轴和y轴旋转生成旋转体的体积

Answer 1

y=x^2和x=1相交于（1，1）点，
绕x轴旋转所成体积v1=π∫（0→1）y^2dx
=π∫（0→1）x^4dx
=πx^5/5(0→1)
=π/5.
绕y轴旋转所成体积v2=π*1^2*1-π∫（0→1）(√y)^2dy
=π-πy^2/2（0→1）
=π/2.
其中π*1^2*1是圆柱的体积，而π∫（0→1）(√y)^2dy是抛物线y=x^2、y=1、x=0围成的图形绕y轴旋转的体积。

Answer 2

解：图形绕x轴旋转生成旋转体的体积=∫[π(x²-x^4/4)]dx
=π(x³/3-x^5/20)│
=π(8/3-8/5)
=16π/15；
图形绕y轴旋转生成旋转体的体积=∫[2πx(x-x²/2)]dx
=2π∫(x²-x³/2)dx
=2π(x³/3-x^4/8)│
=2π(8/3-2)
=4π/3。