Question

判断下列级数的收敛性？

Answer 1

1小题，原式=∑1/3^n+(1/5)∑1/n。∑1/3^n是首项为1/3、公比q=1/3的等比级数收敛；而∑1/n是调和级数，发散。故，原级数发散。
2小题，用比值审敛法求解。ρ=lim(n→∞)a(n+1)/an=a/e。则0<a<e，即ρ<1时，级数收敛。a>e时，ρ>1，发散。a=e时，应用斯特林公式，易得其发散。∴a≥e时，级数发散。
3小题，显然当0<a<1时，lim(n→∞)1/(1+a^n)=1、a=1时，lim(n→∞)1/(1+a^n)=1/2均为不为0的常数。由级数收敛的必要条件可知，0<a≤1时，级数发散。当a>1时，级数∑1/(1+a^n)~∑1/(a^n)。后者是首项为1/a、公比q=1/a的等比级数，满足丨q丨<1的条件，收敛。
4小题，仿2小题，应用比值审敛法，ρ=lim(n→∞)a(n+1)/an=1/4<1。∴原级数收敛。
供参考。