Question

证明:1.两个同阶无穷小相加减后，结果的阶数大于或等于原无穷小的阶数

证明:1.两个同阶无穷小相加减后，结果的阶数大于或等于原无穷小的阶数 2.两个不同阶的无穷小相加减后，结果的阶数等于原较低阶的无穷小的阶数

Answer 1

设f(x)与g(x)是同阶无穷小,
则x→0时,f(x)/g(x)→k(k≠0,k为常数)
[f(x)±g(x)]/g(x)=f(x)/g(x)±1→k±1
当k≠±1时,[f(x)-g(x)]/g(x)→k±1≠0
f(x)-g(x)与g(x)同阶无穷小
当k=-1(或k=1)时,[f(x)-g(x)]/g(x)→k+1(或k-1))=0
f(x)±-g(x)是g(x)的高阶无穷小.
即:两个同阶无穷小相加减后，结果的阶数大于或等于原无穷小的阶数
设g(x)是比f(x)阶数低的无穷小,即f(x)为比g(x)高阶无穷小
则x→0时,f(x)/g(x)→0
[f(x)±g(x)]/g(x)=f(x)/g(x)±1→0±1=±1
所以f(x)-g(x)与g(x)是同阶无穷小
即:两个不同阶的无穷小相加减后，结果的阶数等于原较低阶的无穷小的阶数