求下列一阶线性微分方程的通解:y'-2y=x+2
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y''-2y'+y=x^2
即y''-2y'+y-x^2=0
即(y-x^2+x^2)''-2(y-x^2+x^2)'+y-x^2=0
即(y-x^2)''+2-2(y-x^2)'+4x+y-x^2=0
即(y-x^2)''-2(y-x^2)'+y-x^2+4x+2=0
即(y-x^2+4x+2-4x-2)''-2(y-x^2+4x+2-4x-2)'+y-x^2+4x+2=0
即(y-x^2+4x+2)''-2(y-x^2+4x+2)+8+y-x^2+4x+2=0
即(y-x^2+4x+2)''-2(y-x^2+4x+2)+y-x^2+4x+10=0
即(y-x^2+4x+10)''-2(y-x^2+4x+10)+y-x^2+4x+10=0
令u=y-x^2+4x+10，则
u''-2u'+u=0
即u''-u'=u'-u
即(u'-u)'=u'-u
积分得：u'-u=a*e^{x}
令u=v*e^{x}为上述方程的解，代入化简可得
v'=a
积分得：v=ax+b
从而：u=(ax+b)*e^{x}
从而：y=(ax+b)*e^{x}+x^2-4x-10
是为原方程的通解，可以带入检验之。
即y''-2y'+y-x^2=0
即(y-x^2+x^2)''-2(y-x^2+x^2)'+y-x^2=0
即(y-x^2)''+2-2(y-x^2)'+4x+y-x^2=0
即(y-x^2)''-2(y-x^2)'+y-x^2+4x+2=0
即(y-x^2+4x+2-4x-2)''-2(y-x^2+4x+2-4x-2)'+y-x^2+4x+2=0
即(y-x^2+4x+2)''-2(y-x^2+4x+2)+8+y-x^2+4x+2=0
即(y-x^2+4x+2)''-2(y-x^2+4x+2)+y-x^2+4x+10=0
即(y-x^2+4x+10)''-2(y-x^2+4x+10)+y-x^2+4x+10=0
令u=y-x^2+4x+10，则
u''-2u'+u=0
即u''-u'=u'-u
即(u'-u)'=u'-u
积分得：u'-u=a*e^{x}
令u=v*e^{x}为上述方程的解，代入化简可得
v'=a
积分得：v=ax+b
从而：u=(ax+b)*e^{x}
从而：y=(ax+b)*e^{x}+x^2-4x-10
是为原方程的通解，可以带入检验之。
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