Question

关于f（x）n阶可导的两个问题

Answer 1

n阶可导，就是指它的n阶导数在定义域内处处存在。至于等于多少并没有限制。如函数f(x)
=
x
^
2.你的一阶导数在x
=
0时为0，其他点不为0.
有n阶连续的导数并不能推出它有n+1阶导数，这和连续不一定可导是一样的道理。例如函数
定义在[0,2]上的函数f(x)满足
f(x)
=
x
^
2,
0<=x<=1
f(x)
=
4
*
x
-
x
^
2,
1
<
x
<=
2
则容易验证它一阶导数在[0,2]内均存在而且连续。但是二阶导数在点x
=
1处不存在。
有n阶连续的导数其实只能写成n-1阶泰勒公式（余项是n阶的）。书上泰勒公式条件都是要有n+1阶导数（其中第n+1阶导数没有要求连续，前面n阶导数连续可以由n+1阶导数存在推出）。自己好好看书吧。

Answer 2

1.
函数f(x)在x0点的n阶导数存在不能推出在x=x0的邻域内f(x)
n阶可导；
函数f(x)在x0点的n阶导数用d[f(x0),n]来表示，
d[f(x0),n]=limit
[d[f(x),n-1]－d[f(x0),n-1]
)
/
(x-x0)，x->x0]
①
由①可以推出在x=x0的邻域内f(x)的
n-1阶导数存在且连续；
2.
由函数f(x)在x0点的n阶导数存在，不能得到f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内其他点是否存在，更不能得到n阶导函数的连续性；
3.
当x趋向于x0时，计算可得f
'(x)的极限为k，不能得到f
'(x0)=k。
例如：分段函数f(x)=kx，x≠0;
f(x)=1，x=0
在x=0,f
'(x)的极限为k;
在x=0,f(x)不连续，故f’(0)不存在。