Question

已知函数f（x）=x2-2x+4，g（x）=|x-1-a|+|x-2|；（1）求...

已知函数f（x）=x2-2x+4，g（x）=|x-1-a|+|x-2|； （1）求函数f（x）在区间x∈[-1，m]（m＞-1）上的值域； （2）若对于任意的实数x，不等式f（x）-g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x2-2x+4=（x-1）2+3，x∈[-1，m]，若-1＜m＜1，则f（x）∈[m2-2m+4，7]；
若1≤m＜3，f（x）∈[3，7]；若m≥3，f（x）∈[3，m2-2m+4]．
（2）∵f（x）≥g（x），即
x2-2x+4-|x-2|≥|x-1-a|
（i）若x≥2，即x2-2x+4-（x-2）≥|x-1-a|恒成立，
即x2-3x+6≥|x-1-a|，即-x2+3x-6≤x-1-a≤x2-3x+6，
即x2-2x+5-a≥0x2-4x+7+a≥0，⇒5-a≥03+a≥0，求得-3≤a≤5．
（ii）若x＜2，不等式即
x2-2x+4-（2-x）≥|x-1-a|，可得x2-x+2≥|x-1-a|，
即-x2+x-2≤x-1-a≤x2-x+2，⇒x2+1-a≥0x2-2x+3+a≥0，⇒1-a≥02+a≥0，⇒-2≤a≤1．
综上，-3≤a≤5-2≤a≤1，故有-2≤a≤1．