Question

同济五版高等数学下册90页例6的奇怪问题

同济五版高等数学下册90页，例6，书上是用4倍的第一卦限部分做的，但是如果用2倍的上半部分做，就会出现这个问题：θ的范围变成（-π/2,π/2），这样算出的结果就会少了后边的减数项。这是为什么呢，请高人指教！

Answer 1

这是因为角度的范围发生了变化，所以你在计算二重积分的时候，对p得积分最后的结果有一项为（4a^2-p^2）^(3/2)这样你带入积分上下限的时候得注意，开方以后得注意正负号，不能直接向书上一样得到（1-sinx^3）因为角度的范围发生了变化。树上的角度是锐角，这样正弦和余弦都是正德。而你后来用的是（-π/2,π/2），这样余弦还都是正德，但是正弦就不一定了。所以你开根好的时候还得分开做，利用积分区域的可加性。
您真是一位认真的好同学，具体你自己算算把。这里打数学公式很不方便，我就不具体写了。相信您一定可以弄懂