Question

高数。这个答案是哪个？

最好有过程。

Answer 1

这题答案是选b的，利用高斯公式算的，偏p/偏x+扁q/偏y+偏r/偏z=1，所以原式等于那个曲面的体积。依题意整个体的表面的积分，而且是外侧，所以是正向的。那个曲面体积是一个圆锥的体积，相当于底面是x平方+y平方=1，也就是半径是1，高度是z=2-1=1，所以这个圆锥的体积是1pi/3，这一题的答案选b。

追问

那个是圆锥吗

Answer 2

Answer 3

作辅助平面Σ':z=1，x²＋y²≤1，取下侧。
则Σ和Σ'刚好可以构成一个封闭曲面，根据高斯公式可得
∫∫(Σ＋Σ')=∫∫∫ Ω (3x²z＋1－x²z－2x²z)dv
=∫∫∫Ω dv =∫∫Σ＋∫∫Σ'=∫∫Σ－∫∫Σ' x²dxdy
=∫∫Σ＋∫∫Σ' x²dσ
所以∫∫Σ=∫∫∫Ω dv－∫∫Σ' x²dσ
=∫(1，2) dz∫∫(x²＋y²≤2－z) dxdy－∫(0，2π)dθ∫(0，1) r³cos²θdr
=π∫(1，2) (2－z)dz－1/2 ∫(0，2π) (cos2θ＋1) dθ∫(0，1) r³dr
=π(2z－1/2 z²)|(1，2)－π/4 r^4 |(0，1)
=π/2－π/4
=π/4
选择A