Question

梯度和散度有什么区别和相似之处? 另外简要解释一下两者的定义和物理含义.

Answer 1

梯度是矢量,其大小为该点函数的最大变化率,即该点的最大方向导数.
梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向,它指向函数增加的方向.
散度
散度指流体运动时单位体积的改变率.简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散.其计算也就是我们常说的“点乘”.
散度是标量,物理意义为通量源密度.
散度为零,说明是无源场；散度不为零时,则说明是有源场（有正源或负源）
关于梯度可以这样理
对于一座山,它的每一点的海拔高度φ就是一标量场.那么,某一点海拔高度φ向山顶方向的位置变化率就是梯度.这个标量场的φ是连续的,当然梯度也是连续倾斜的.梯度可以表示为7楼的形式,但用张量形式表示就更简练：即“φ,i”,式中,“,”表示普通微分,i=1,2,3（三维时）表示φ在空间3个方向微分的分量.
散度可以理解为一个流场中,某点的流速v在各方向的变化率之和,是一个标量.根据这个定义可以知道,如果在流场中取一小空间,其散度不为零的话,就说明有流入或流出的流体.当散度为零的话,说明该小空间的流体是连续的,没有多余的流体流入流进.所以,连续体的连续式就是以此式为零.