Question

设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求 a√(1+b^2)的最大值

设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求 a√(1+b^2)的最大值

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

第一种方法：用二次函数性质求：a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=√[a^2(3-2a^2)]
设a^2=t,t≥0
√[a^2(3-2a^2)]=√[t(3-2t)]=√-2[(t-3/4)^2-9/16]
当t=3/4时,最大值3√2/4
a^2=3/4
当a=√3/2
时a√(1+b^2)的最大值为3√2/4
第二种方法：不等式性质(a+b)/2>√ab求解
a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=√[a^2(3-2a^2)]=√[2a^2(3-2a^2)/2]≤√(1/2)[2a^2+(3-2a^2)]/2=3√2/4
当2a^2=3-2a^2时等号成立!