Question

设A为n阶方阵，（E＋A）的m次方＝0证明A可逆 ???

设A为n阶方阵，（E＋A）的m次方＝0证明A可逆

Answer 1

可以有好多证明。
证：(E+A)^m=0,
E+A是幂零的，所以E+A的特征值全为0。因此A的特征值全为-1，因此|A|=(-1)^n不为0。所以A可逆。
证：设B=E+A,
那么B^m=0.
(E-B)(B^(m-1)+B^(m-2)+....+B+E)=E-B^m=E.
所以E-B可逆，其逆为B^(m-1)+B^(m-2)+....+B+E.
但E-B=-A,所以A可逆。