Question

高一数学不等式难题求解

已知a、b、c均为正实数，且满足a^2+b^2+c^2=1 求a^-2+b^-2+c^-2的最小值 答案为9 求过程

Answer 1

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Answer 2

1=a^2+b^2+c^2
≥3倍（a^2b^2c^2）开三次方
所以（a^2b^2c^2）开三次方≤1/3
a^-2+b^-2+c^-2≥3倍〔1/（a^2b^2c^2）开三次方〕≥3乘3=9
所以最小值为9

Answer 3

a²+b²+c²=0
所以1/a²+1/b²+1/c²
=(1/a²+1/b²+1/c²)(a²+b²+c²)
=1+1+1+b²/a²+c²/a²+a²/b²+c/b²+a²/c²+b²/c²
算术平均
大于等于几何平均
b²/a²+c²/a²+a²/b²+c/b²+a²/c²+b²/c²>=6(b²/a²*c²/a²*a²/b²*c/b²*a²/c²*b²/c²)的6次
方根
=1
所以1/a²+1/b²+1/c²>=1+1+1+6=9
所以最小值=9