Question

在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2co...

在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC （1）求角B的大小； （2）求2cos2A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理asinA=bsinB=csinC得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=12，B∈（0，π），
∴B=π3；
（2）∵B=π3，故A+C=2π3，
∴C=2π3-A，
∴2cos2A+cos（A-C）
=1+cos2A+cos（2A-2π3）
=1+cos2A-12cos2A+32sin2A
=1+12cos2A+32sin2A
=1+sin（2A+π6），
∵0＜A＜2π3，
∴π6＜2A+π6＜3π2，
∴-1＜sin（2A+π6）≤1，
∴0＜1+sin（2A+π6）≤2．
即2cos2A+cos（A-C）的取值范围是（0，2]．