Question

已知函数,其中且.()讨论的单调性;()若,求函数在上的最小值.

已知函数,其中且. ()讨论的单调性; ()若,求函数在上的最小值.

Answer 1

对分类讨论,利用指数函数和对数函数的单调性,利用导数与函数单调性的关系即可得出;
利用的结论即可得出.
解:当时,,,
当时,,,此时函数单调递增;当时,,,此时函数单调递减.
当时,,,
当时,,,此时函数单调递增;当时,,,此时函数单调递减.
当时,由可知:函数在单调递减;函数在单调递增.
因此当时,函数取得最小值,.
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,指数函数与对数函数的单调性,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.