Question

根据绝对值在数轴上的几何意义，解决问题:

根据绝对值在数轴上的几何意义，解决问题:当x的取值范围是--时，x-1的绝对值+x+4的绝对值有最小值是

Answer 1

当x的取值范围是(-4，1)时，x-1的绝对值+x+4的绝对值有最小值是5。

解析：x的取值范围是(-4，1)时，x-1的绝对值+x+4的绝对值的意义是数轴上表示x的点到表示1，-4点的距离的和为5。（|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。）

绝对值的性质：

在数学中，绝对值或模数| x | 的非负值，而不考虑其符号，即|x | = x表示正x，| x | = -x表示负x（在这种情况下-x为正），| 0 | = 0。例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离。

实数的绝对值的泛化发生在各种各样的数学设置中，例如复数、四元数、有序环、字段和向量空间定义绝对值。绝对值与各种数学和物理环境中的大小，距离和范数的概念密切相关。

Answer 2

|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．

一、绝对值之和求最小值
题型一 两个绝对值相加求最小值【方法分析】

【总结归纳】

绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．

题型二 多个绝对值相加求最小值

二、绝对值之差求最值
【方法分析】

至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算．
绝对值有两个意义：

（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）

（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：

（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；

点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a－b|，利用绝对值的距离公式找最小值，是考试中的一个难点。现在跟随老师的脚步，从特色到一般出发，一起探究做此题的套路吧，这一类题就都可以解决啦！

【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．

（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

【问题解决】

（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是______．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是_____．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是_____．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ______，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为 ______．

（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．

（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．

Answer 3

当x的取值范围是(-4,1)时，x-1的绝对值+x+4的绝对值有最小值是5
说明:x的取值范围是(-4,1)时，x-1的绝对值+x+4的绝对值的意义是数轴上表示x的点到表示1,-4点的距离的和为5。