Question

求证,对任意正整数n,N=1/5n^5+1/3n^3+7/15n的值恒为整数

Answer 1

N=1/5*n^5+1/3*n^3+7/15*n

=1/15*(3n^5+5n^3+7n)

=(n-1)n(n+1)(3n^2-7)/15+n^3

因为(n-1)，n，(n+1)是3个连续的自然数，一定有个是3的倍数。

如果（n-1)，n，(n+1)里有5的因子，则(n-1)n(n+1)是15的倍数，得证。

如果（n-1)，n，(n+1)里没有5的因子，则只能是n=5k+2,n=5k+3.(k是自然数）

n=5k+2时，

3n^2-7=3（5k+2)^2-7=75k^2+60k+5,是5的倍数。

n=5k+3时，

3n^2-7=3（5k+3)^2-7=75k^2+90k+20,是5的倍数。

所以(n-1)n(n+1)(3n^2-7)是15的倍数。

得证。

整除特征

1. 若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。

2. 若一个数的所有数位上的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

3. 若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

4. 若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

5. 若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

Answer 2

N=1/5*n^5+1/3*n^3+7/15*n
=1/15*(3n^5+5n^3+7n)
=1/15*n(3n^4+5n^2+7)
=1/15*n(3n^4-10n^2+7+15n^2)
=n/15*[(3n^2-7)(n^2-1)+15n^2]
=(n-1)n(n+1)(3n^2-7)/15+n^3
因为(n-1),n,(n+1)是3个连续的自然数,一定有个是3的倍数.
如果（n-1),n,(n+1)里有5的因子,则(n-1)n(n+1)是15的倍数,得证.
如果（n-1),n,(n+1)里没有5的因子,
则只能是n=5k+2,n=5k+3.(k是自然数）
n=5k+2时,
3n^2-7=3（5k+2)^2-7=75k^2+60k+5,是5的倍数.
n=5k+3时,
3n^2-7=3（5k+3)^2-7=75k^2+90k+20,是5的倍数.
所以(n-1)n(n+1)(3n^2-7)是15的倍数.
得证.