这道题怎么做？大学数学 高等数学 微积分 积分运算
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分享解法如下。设t=arctanx。∴x=tant。原式=∫costln(tant)dt=sintln(tant)-∫sectdt。
∫sectdt=ln丨sect+tant丨+C。∴原式=sintln(tant)-ln丨sect+tant丨+C。
∴原式=(xlnx)/√(1+x²)-ln丨x+√(1+x²)丨+C。
供参考。
∫sectdt=ln丨sect+tant丨+C。∴原式=sintln(tant)-ln丨sect+tant丨+C。
∴原式=(xlnx)/√(1+x²)-ln丨x+√(1+x²)丨+C。
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= ∫ lnx/(1 + x²)^(3/2) dx
= ∫ lnx d[x/√(1 + x²)]
(此处∫ dx/(1 + x²)^(3/2) = x/√(1 + x²))
分部积分
= xlnx/√(1 + x²) - ∫ x/√(1 + x²) d[lnx]
= xlnx/√(1 + x²) - ∫ 1/√(1 + x²) dx
= xlnx/√(1 + x²) - arcsinh(x) + C
= xlnx/√(1 + x²) - ln|x + √(1 + x²)| + C
= ∫ lnx d[x/√(1 + x²)]
(此处∫ dx/(1 + x²)^(3/2) = x/√(1 + x²))
分部积分
= xlnx/√(1 + x²) - ∫ x/√(1 + x²) d[lnx]
= xlnx/√(1 + x²) - ∫ 1/√(1 + x²) dx
= xlnx/√(1 + x²) - arcsinh(x) + C
= xlnx/√(1 + x²) - ln|x + √(1 + x²)| + C
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