Question

求定积分的值

麻烦写一下详细过程谢谢🙏

Answer 1

定积分就是在固定区间求面积.（1）∫（0~1）tdt∫（0~2）(2-x)dt；
（1）∫（3~7）tdt∫（5~9）(2-x)dt；先画个坐标∫（0-1）tdt就是求y=t在区间（0,1）的面积 这个图形是个底为1高为1的等边直角三角形，面积为1*1*1/2=1/2∫（0~2）(2-x)dt是求y=2-x在区间（0,2）的面积 这个图形是底为2高为2的等边直角三角形，面积为2*2*1/2=2∫（3~7）tdt 是求y=t在区间（3,7）的面积 这个图形是高为4上底为3下底为7的梯形，面积为（3+7）*4*1/2=20∫（5~9）(2-x)dt是求y=2-x在区间（5,9）的面积
定积分（外文名：definite integral）是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

Answer 2

分享一种解法，∵(sinθ)^4=(1/4)(2sin²θ)²=(1/4)(1-cos2θ)²=(1/4)(1-2cos2θ+cos²2θ)=(1/4)[3/2-2cos2θ+(1/2)cos4θ]，
∴原式=(1/4)∫(0,π/2)[3/2-2cos2θ+(1/2)cos4θ]dθ=…=3π/16。
供参考。

追问

麻烦问一下答案里这样写是怎么来的？

追答

前述答案应该是“3π/16”已更正。图片上的解法是应用“分部积分法”而形成递推公式，求解。其过程是，设In=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ。∴In=∫(0,π/2)(sinθ)^(n-1)d(-cosθ)=(n-1)∫(0,π/2)(sinθ)^(n-2)cos²θdθ=(n-1)I(n-2)-(n-1)In。
∴In=[(n-1)/n]I(n-2)。而，I1=∫(0,π/2)sinθdθ=1，I2=∫(0,π/2)sin²θdθ=π/4=(1/2)π/2。
∴有递推公式：①当n为偶数时，In=[(n-1)/n]*[(n-3)/(n-2)]*…*(1/2)π/2。②当n为奇数时，In=[(n-1)/n]*[(n-3)/(n-2)]*…*1。