Question

已知f（x）是定义R在上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（...

已知f（x）是定义R在上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2），若f（1）=2，则f（2006）+f（2007）等于（ ） A．2007 B．2006 C．2 D．0

Answer 1

分析：令x=-2，得到f（-2）=0，故f（2）=0，故有f（x+4）=f（x），f（x）是周期等于4的周期函数，
由函数的周期性性及偶函数的性质求出式子的值．
解答：解：∵f（x）是定义R在上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，
可得 f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=0，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期等于4的周期函数，故
f（2006）+f（2007）=f（2）+f（3）=f（3）=
f（-1）=f（1）=2，
故选
C．
点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，体现了转化的数学思想．