Question

已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…...

已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）． （1）求证：数列{an-1}是等比数列； （2）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3…），求数列{bn}的最大项的值； （3）对第（2）问中的数列{bn}，如果对任意n∈N*，都有bn+14t≤t2，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，…①，
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，…②，②-①可得2an+1-an=1…（3分）；
即：an+1-1=12（an-1），又a1-1=-12…..（5分），
所以数列{an-1是以-12为首项，以12为公比的等比数列…..…..（4分）
（2）解：由（1）可得an=1-(12)n，故bn=n-22n，
设数列{bn}的第r项最大，则有r-22r≥r-12r+1r-22r≥r-32r-1，∴2(r-2)≥r-1r-2≥2(r-3)，∴3≤r≤4，
故数列{bn}的最大项是b3=b4=18..…..（8分）
（3）解：由（2）可知{bn}有最大值是b3=b4=18，所以，对任意n∈N*，都有bn≤18，
∵对任意n∈N*，都有bn+14t≤t2，即bn≤t2-14t成立，
∴18≤t2-14t，…（11分），
解得t≥12或t≤-14
∴实数t的取值范围是（-∞，-14]∪[12，+∞）…（12分）