Question

设随机变量（X,Y）的联合概率密度分别如下：f（x,y）={ke^-（3x+4y...

设随机变量（X,Y）的联合概率密度分别如下： f（x,y）={ke^-（3x+4y）} ,x,y>0 0 其他 \x05求（1）系数k; (2) P(XY); (3) E(XY).

Answer 1

随机变量（X,Y）的联合概率密度分别如下：
f（x,y）={ke^-(3x+4y)}
,x,y>0
0
其他
(1)
∫∫
f(x,y)dxdy=1
所以∫(0,∞)∫(0,∞)
k*e^-(3x+4y)
dxdy
=k*∫(0,∞)
dx
∫(0,∞)e^-(3x+4y)dy
=k*∫(0,∞)
dx
(-1/4)*e^(-3x-4y)
(0,∞)
=k/4*∫(0,∞)
e^(-3x)
dx
=k/4*(-1/3)*e^(-3x)
(0,∞)
=k/12
所以k=12
(2)P(XY)是求什么
(3)E(XY)=∫∫
xy*f(x,y)dxdy
=12∫(0,∞)
x*e^(-3x)
dx
∫(0,∞)
y*e^(-4y)
dy
这里
∫(0,∞)
x*e^(-3x)
dx
=(-1/3)∫(0,∞)
x*d(e^(-3x)
)
=(-1/3)*x*e^(-3x)
(0,∞)+1/3*∫(0,∞)
e^(-3x)
dx
=1/3*(-1/3)*e^(-3x)
(0,∞)
=1/9
同样
∫(0,∞)
y*e^(-4y)
dy=1/16
所以E(XY)
=12∫(0,∞)
x*e^(-3x)
dx
∫(0,∞)
y*e^(-4y)
dy=12*1/9*1/16=1/12