Question

一道数学归纳法证明题

用数学归纳法证明1+n/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)<=1/2+n 谢谢

Answer 1

dwtydwtyky的做法悲剧了~
“两式相减”的时候，那是不等式啊怎么能小的减小的，大的减大的呢？？
我有一种做法，需要写一会儿……
n=1显然
n=k时1+k/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)<=1/2+k
（1）
n=k+1时
要证
1+（k+1）/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+……+1/(2^（k+1）)<=1/2+k+1
（2）
先证左半个不等式：
（1）的左半个同时加1/2：
1+(k+1)/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+1/2
与待证的（2）左半个相比，要证：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))>=1/2
（3）
证明（3）：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))共有2^k项相加，其中最小者为1/(2^(k+1))
故1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))>=2^k/(2^(k+1))=1/2,（3）得证。
再证右半个不等式：
（1）的右半个同时加1：
1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+1<=1/2+k+1
与待证的（2）右半个相比，要证：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))<=1
（4）
证明（4）：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))共有2^k项相加，其中最大者为1/(2^k+1)
故1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))<=2^k/(2^k+1)=1-1/(2^k+1)<=1,（4）得证。