斜率为1的直线l经过抛物线y^2=x的焦点,且与抛物线相交于A.B两点,求线段AB的长
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抛物线y^2=x=2px (p>0)
得p=1/2
那么焦点为(p/2,0),即(1/4,0)
那么直线l用点斜式写为：y-0=x-1/4, 即y=x-1/4
联立y^2=x与y=x-1/4得：
(x-1/4)^2=x
整理得：x^2-3/2x+1/16=0
设A(x1,x1-1/4), B(x2,x2-1/4)
那么根据韦达定理x1+x2=3/2 ,x1x2=1/16
AB^2==(x1-x2)^2+[(x1-1/4)-(x2-1/4)]^2=2(x1-x2)^2
因为(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=9/4-1/4=2
所以AB^2=4 ,AB=2
简便方法----直接用公式：过抛物线焦点弦长=x1+x2+p =3/2+1/2=2
得p=1/2
那么焦点为(p/2,0),即(1/4,0)
那么直线l用点斜式写为：y-0=x-1/4, 即y=x-1/4
联立y^2=x与y=x-1/4得：
(x-1/4)^2=x
整理得：x^2-3/2x+1/16=0
设A(x1,x1-1/4), B(x2,x2-1/4)
那么根据韦达定理x1+x2=3/2 ,x1x2=1/16
AB^2==(x1-x2)^2+[(x1-1/4)-(x2-1/4)]^2=2(x1-x2)^2
因为(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=9/4-1/4=2
所以AB^2=4 ,AB=2
简便方法----直接用公式：过抛物线焦点弦长=x1+x2+p =3/2+1/2=2
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