Question

微分方程的解的结构

Answer 1

对于一阶线性微分方程方程形如y'+p(x)y=Q(x)的其通解公式为y=exp（-积分p(x)）×(积分(Q(x)exp(积分p(x)))）+C,对于二阶常系数线性微分方程来说，根据特征方程解的形式可以分为三种提前说明齐次微分方程与非齐次线性微分方程就差一个特解先说齐次线性微分方程通解
1假设二阶齐次线性微分方程特征方程的判别式大于0说明有两个跟分别是r1与r2，此时的通解为y=exp(r1x)+exp(r2x)
2假设二阶齐次线性微分方程特征方程的判别式等于0说明有两个根相等是r，此时的通解为y=(ax+b)exp(rx)
3假设二阶齐次线性微分方程特征方程的判别式小于0说明有两个跟为复数形式分别是a±bi，此时的通解为y=exp(ax)(Asin(bx)+Bcos(bx))以上三种解形式可以推广到n阶齐次线性微分方程。
在如果是非齐次线性微分方程，它通解的形式是他对应的齐次线性方程的通解加上他自己的特解，特解的形式就是根据非齐次线性微分等号右边的形式而定，一般保护三部分x的多相式，指数函数exp，三角函数sin，cos假设等号右边为x^n×exp（ax）cosbx
Z那这个特解的形式为y*=(x^n+x^n-1+……）×exp(ax)×（AsinbxBcosbx）然后把这个形式带入到原方程内部求解对应参数的值，那就可以求解出特解，对应非齐次线性微分方程通解就是齐次通解加上求解的特解。