Question

概率论 中心极限定理 大数定理

某单位有200台电话机，每台有5%时间要使用外线通话，若每台电话是否使用外线是相互独立的，问至少要多少条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线是不被占用?

Answer 1

把200台电话机编号，从1到200，对于每台电话i，使用随机标记函数
Hi，
当i
需要使用外线时，Hi=1，
当i
不需要使用外线时，Hi=0.
考虑随机变量
Y=Σ_(1<=i<=200)
Hi，由Hi的定义，可知，Y的值表示同一时间内需要使用外线的电话数量。90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用，即要找到一个最小x值，使得概率
P(Y<=x)
>=
0.9
。或P(Y<=x)
=
0.9
考虑随机变量
Y/200
=
(1/200)Σ_(1<=i<=200)
Hi
，由中心极限定理，
Y/200
近似于
正态分布
N(m,
v),
其中
均值
m=E(Hi)=0.05,
方差
v=V(Hi)
/
200
=
0.05*0.95
/
200
所以，要求
0.9
=
P(Y<=x)
=
P(Y/200<=x/200)
=
P(Y/200-m<=x/200-m)
=P(
[Y/200-m]
/
√v<=[x/200-m]
/
√v)
显然，[Y/200-m]
/
√v
近似于标准正态分布
N(0,
1)，所以，
[x/200-m]
/
√v
应该为
标准正态分布
N(0,
1)
90%
的quantile(分位点)。
所以
[x/200-m]
/
√v
=1.28，
最后
x
=
200(1.28
√v
+m)
=
10+
1.28*
√(200*0.05*0.95)
=
13.95,
应取大于这个值的最小整数，所以
x=14.