Question

希尔伯特空间的子空间为什么不是希尔伯特空间?

Answer 1

因为：傅立叶展开是以三角函数为基矢。希尔伯特空间类似，以一个相互正交的函数组为基矢的空间。那么函数就成了这个空间的矢量。函数可以展开为基矢的线性叠加，基矢的系数就相当于矢量的各个分量。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。

定义

希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的算子的研究是泛函分析的重要组成部分。

设H是一个实的线性空间，如果对H中的任何两个向量x和y，都对应着一个实数，记为(x，y)、满足下列条件：

①对H中的任何两个向量x，y，有(x，y)=(y，x)。

②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z)。

③对H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要条件是x=0。则(x，y)称为是H上的一个内积，而H称为内积空间。