Question

p→ q与p →非q的真假关系是什么?

Answer 1

若转化成直言所有p都是q与所有p都是非q是上反对关系，则必有一假；所有p都是q，用现代逻辑，写成符号式，并不是p→q，而是Vx (p→q)；同样地，所有p都是非q，用现代逻辑，写成符号式，并不是p→┐q，而是vx(p→7q)。

传统的上反对关系，是亚里士多德逻辑的概念，没有考虑p为空集的情况。转换为现代逻辑，则不再有上反对的概念。因为当p为空集时，对所有的x，p都为假，此时vx (p→q）和vx(p7q）都为真。

p为假时p→q恒为真；观察1、3行p、q情况可以发现q为真时p→q恒为真。总结为：p为假或q为真时p→q恒为真。再来观察一下第2行p→q为假的情况，即当p为真且q为假时p→q为假。

根据p→q为真的情况，咱们可以延伸出来有关p→q的充分条件关系。有了非p就有p→q为真，所以非p是p→q为真的充分条件，即非p→（p→q）。有了q就有p→q为真，所以q是p→q为真的充分条件，即q→（p→q）。