Question

大学物理电磁学简单问题

在场强为E的均匀静电场中，取一半径为R的半球面,E的方向和半球面的轴平行,试求通过该半球面S1的电通量.若以半球面的边线为边线,另作一个任意形状的曲面S2,则通过S2面的电通量又是多少?
答案:πR^2 E
πR^2 E

Answer 1

这个题目根据高斯定理做。
高斯定理:通过一个任意闭合曲面S的电通量Φ
等于该面所包围的所有电荷电量的代数和
∑q
除以
介电常数
ε0
。与闭合面外的电荷无关。公式表达为
Φ
=
∮E
cosθ
dS
=
(1/ε0)
∑q
其中
E
为电场强度，θ为
E
与
dS
的法线方向的夹角。
两个半径分别为R1和R2(R1<R2)的无限长同轴圆柱面
具有体系轴对称性。即在以轴线为圆心的圆周上
电场强度E的大小相同(方向沿半径向外)。
取同轴的一个圆柱面作为高斯面。则在高斯面的上底和下底面，θ
=
90度，cosθ=0。而在高斯面的侧面，θ
=
0
度，cosθ
=
1。
Φ
=
∮E
cosθ
dS
=
∮E
cosθ
dS
(侧面)
+
∮E
cosθ
dS
(上下底面)
=
∮E
cosθ
dS
(侧面)
=
∮E
dS
=
E
∮dS
=
E
*
(2
π
r
L)
其中
r
表示
高斯面侧面与轴的距离。
所以
E
=
Φ
/(2
π
r
L)
当
r
<
R1
或
r
>
R2
时
Φ
=
0
所以
E
=
0
当
R1
<
r
<
R2
时
Φ
=
(1/ε0)
*
∑q
=
(1/ε0)
*
入L
所以
E
=
Φ
/(2
π
r
L)
=
入/
(2
π
ε0
r)

Answer 2

球心为原点 建立 球坐标系.
球面上任意有点 用 (r , θ, φ) 表征。 其中 r为半径，θ 为 r矢量在半球面底面上的投影与该平面内某x-y直角坐标系的某个轴的夹角， φ 为 矢量r与半球面的轴（即与 z轴）的夹角。θ ∈ [0，2π]，φ∈[0，π/2]

在球面上取任意面积微元
dS = (r*sinφ*dθ)*(r*dφ)

为表征矢量， 定义一个符号吧。< >
<dS> = r^2 * sinφ *dθ*dφ (<r>/r)

<E> · <dS> = r^2 * sinφ *dθ*dφ * (<E>·<r>/r)
= E *r^2 * sinφ *cosφ *dθ*dφ

电通量
Φ = ∮ <E> · <dS>
= E∮r^2 * sinφ *cosφ *dθ*dφ
= E R^2 * ∮sinφ *cosφ *dθ*dφ
= E R^2 * ∮sinφ *cosφ dφ * ∮dθ
= E R^2 * (1/4) (-cos2φ) * θ （定积分 θ ∈ [0，2π]，φ∈[0，π/2]）
= E R^2 * (1/4) * (-cosπ + cos0) * (2π)
= πR^2 E

==================
场强为E的均匀静电场， 可以看成从无穷远处 带电平板 所形成的电场。 因为是无穷远处，所以 半球所在位置 无电荷， 即 ∑q = 0。

S1 与 S2 形成 闭合曲面后， 根据高斯定理，总的电通量
Φ总 = ∑q /ε0 = 0

同时
Φ总 = Φ1 + Φ2
Φ2 = -Φ1 = -πR^2 E

单独考虑 Φ2 时， 可以不涉及 正负， 因此
Φ2 = πR^2 E

Answer 3

公式啊：js

Answer 4

什么是电通量。。。。