Question

已知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+1/2c=b

已知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+1/2c=b (1) 求角A的大小。(2) 若a=1求三角形ABC的周长L的取值范围。

Answer 1

解：
(1)
由正弦定理得
sinacosc+½sinc=sinb
sinacosc+½sinc=sin(a+c)
sinacosc+½sinc=sinacosc+cosasinc
sinc(cosa-½)=0
c为三角形内角，sinc恒>0，因此只有
cosa=½
a为三角形内角，a=π/3
(2)
三角形两边之和>第三边
b+c>a
b+c>1
由余弦定理得
(b²+c²-a²)/(2bc)=cosa
[(b+c)²-2bc-a²]/(2bc)=cosa
a=1，a=π/3代入，整理，得
(b+c)²=3bc+1
由均值不等式得：(b+c)²≥4bc
bc≤(b+c)²/4
(b+c)²≤3(b+c)²/4
+1
(b+c)²≤4
b+c≤2
综上，得：1
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