Question

求解？有关函数单调性的题？

求解这道题的思路是什么？看完答案懂了也不懂。有点蒙。

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Answer 1

思路是求差法。以及用导函数来研究原函数的性质~

当我们比较A和B的大小时，如果不是具体的数字，而是一个式子一个数字，或者两边都是式子，那我们一般将A-B，和0进行比较（求差法）；也可在确认二者不是0的情况下，相除，和1比较（求商法）。

当然，还有别的方法，因为和这题没关系，就不展开了。

这一题是求差，比较的对象就是sinx和x - x²/2

我们将两个式子相减，得到标准答案里的g(x)

这个g(x)函数不是基本初等函数，不能直接用初等函数来研究，所以我们对其求导，研究其函数的增减性，从而知道什么地方g(x)取得极小值，什么地方取得极大值。所有极小值中最小的那个和端点值（当然本题勉强算有一个开区间端点x=0）中最小的，即是函数的最小值

对g(x)求导，我们发现g'(x)依旧不是基本函数，但是g'(x)与g(x)相比，非三角函数的部分次数出现了下降

所以我们将h(x)=g'(x)，对h(x)进行第二次求导，这下得到的h'(x)是基本函数，于是我们就找到了g'(x)的函数性质，进而知晓了g(x)是怎样的函数【单调递增】。

既然是单调递增，那么左侧端点值x=0即是其最低点，很显然g(0)=0，因此g(x)>0 (x>0)

故sinx-(x - x²/2)>0，也即sinx>(x - x²/2)

Answer 2

这题就是把要求的不等式转化为g(x)>0
因为g(0)=0，所以我们只需要证明g(x)在(0,+∞)上是单增的就可以了