Question

n分之一的前n项和是多少？

Answer 1

数列1/n的前n项和没有通项公式，但它存在极限值，当n趋于无穷大时，其极限值为ln2；

下面给出证明：

设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)

lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)

取对数

1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0

又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn

=ln(n+1)-lnn>0

扩展资料：

对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。这引起了对数螺旋。Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。

对数也与自相似性相关。例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。

对数刻度对于量化与其绝对差异相反的值的相对变化是有用的。此外，由于对数函数log(x)对于大的x而言增长非常缓慢，所以使用对数标度来压缩大规模科学数据。对数也出现在许多科学公式中，例如Tsiolkovsky火箭方程，Fenske方程或能斯特方程。