Question

二项式展开式中各项系数的和是什么？

Answer 1

令二项式中所有的字母都等于1，则计算出的结果就等于二项式展开式的各项系数的和。

如：（5x-1/根号x）的n次方的展开式各系数之和为M，其中M的算法为：令x=1，得4^n；二项式系数之和为N，其中N的算法为：2^n，从而有4^n-2^n=56。

解这个方程：56=7*8，而4^n-2^n=（2^n）*（2^n-1），是一个奇数乘以一个偶数，所以2^n=8，有n=3。

扩展资料：

二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.

杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.

Answer 2

在二项式展开式中，各项系数的和等于二项式展开式的幂次。这可以通过二项式定理来证明。
二项式定理表述如下：
对于任意实数 a 和 b，以及非负整数 n，有如下展开式：
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
其中，C(n, k) 表示组合数，表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数，计算公式为 C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)。
现在我们来计算各项系数的和，即展开式中所有系数的总和：
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
系数的和为：
C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n-1) + C(n, n)
这个和恰好等于 2^n，即系数的和等于二项式展开式的幂次。
因此，二项式展开式中各项系数的和是 2^n。

Answer 3

在二项式展开式中，各项系数的和是2的n次幂，其中n表示二项式的阶数（指数）。
二项式展开式的一般表达式为：
(a + b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n
其中，C(n,r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个元素的组合个数，其计算公式为：
C(n,r) = n!/[(n-r)! * r!]
各项系数C(n,r)可以看作是二项系数的选择方式，它表征了在二项式展开中，每一项中不同次幂的系数。
当将所有的项系数相加时，可以得出如下结论：
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,r) + ... + C(n,n) = 2^n
这意味着，二项式展开式中各项系数的和等于2的n次幂。这个结论可以通过组合数学推导或递推的方法得到。