Question

如何能更好地理解(ε-δ)语言极限的定义?

Answer 1

任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）为了方便，可让ε值适当减少），取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε）。

于是对于任意给定的ε>0，都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε。即当x趋近于x0时，函数f(x）有极限A

例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1

证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只须-ε＜lnx-1＜ε，1-ε＜lnx＜1+ε，e＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε)，∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e，取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min后面两数是不等式两端的值。

但左边的是不等式左端的负值要取绝对值，这两正数取较小的为δ，于是对于任意给定的ε>0，都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε。

即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1说明一下：

1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。

2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求，我们学习时，老师讲解放前我们（p大）数学专业只要求五分之一的人掌握。