Question

高等数学证明不等式？

Answer 1

细节自己补充一下。第二道题如果没有学习拉格朗日中值定理，也可以用函数证明。

令x=a/b，显然x大于1，因为a大于b

所以不等式变为：1-1/x 小于 lnx 小于 x-1（大于小于符号显示不出来，用汉字代替）

分别构造函数证明两个不等号成立就可以了

追问

第二题怎么构造函数

我有学过拉格拉日中值定理，但不会做

第二题怎么没有在闭区间连续开区间可导跟f倒可c的公式

这个是怎么算出来的

追答

你打红圈那里，是不等式同时除以a-b

就是lnx在［a,b］连续，在（a,b）可导

追问

这个不是lnx+x-1吗

x分之1怎么得来的

这个怎么算出来是3分一的

追答

那个是伊布塞龙

不是3

注意x=a/b

那么b/a=1/x

不好意思，那是另外一个希腊字母，不是伊布塞龙

先下了，有问题下次回你。

追问

那个1怎么得出来的

lna-lnb为什么等于1

追答

那是拉格朗日中值定理，只要满足条件就可以用。
而且不是lna-lnb=1，是分子分母那个整体等于等号右边

Answer 2

分享一种解法。设a=bt(a>b>0，t>1)。∴证明“1-1/t<lnt<t-1”即可。
①设f(t)=lnt-1+1/t。∴f'(t)=(t-1)/t²。∴f(t)在t∈(1,∞)时，单调增，且f(1)=0。∴f(t)>0，lnt-1+1/t>0，即lnt>1-1/t成立。
②令f(t)=lnt-t+1。∴f'(t)=(1-t)/t。∴f(t)在t∈(1,∞)时，单调减，且f(1)=0。∴f(t)<0，lnt+1-t<0，即lnt<t-1成立。
将t=a/b代入、整理即可。