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【转】仿射变换及其变换矩阵的理解

Answer 1

posted @ 2019-05-30 17:37  shine-lee 阅读(7203)  评论(7)  编辑   收藏

分类:  传统计算机视觉

目录

写在前面

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射

变换矩阵形式

变换矩阵的理解与记忆

变换矩阵的参数估计

参考

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写在前面

2D图像常见的坐标变换如下图所示：

这篇文章不包含 透视变换 （projective/perspective transformation），而将重点放在 仿射变换 （affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射

仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合 ：

平移 （translation）和 旋转 （rotation）顾名思义，两者的组合称之为 欧式变换 （Euclidean transformation）或 刚体变换 （rigid transformation）；

放缩 （scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；

刚体变换+uniform scaling 称之为， 相似变换 （similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩；

剪切变换 （shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。

各种变换间的关系如下面的venn图所示：

通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式

没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述：

[x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy]

不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为 线性变换 （linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是 原点位置不变 ， 多次线性变换的结果仍是线性变换 。

为了涵盖平移，引入 齐次坐标 ，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示：

⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[abcdef001][xy1]

所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：

此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同，

⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)txsin⁡(θ)cos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]

再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下：

⎡⎣⎢scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)scos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin⁡(θ)scos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]

自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。

变换矩阵的理解与记忆

坐标系 由 坐标原点 和 基向量 决定， 坐标原点 和 基向量 确定了，坐标系也就确定了。

对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为：

[xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy]

当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化 ，但 点相对新坐标系 （x′−y′x′−y′坐标系） 的位置不变 仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos⁡(θ),sin⁡(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin⁡(θ),cos⁡(θ)]，所以点变化到新位置为：

[x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[−sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos⁡(θ)sin⁡(θ)]+y[−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xy]

新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。

总结一下：

所有变换矩阵只需关注一点： 坐标系的变化 ，即 基向量和原点的变化 ；

坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化 ；

坐标系的变换分为  基向量的变化  以及  坐标原点的变化 ，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点；

这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。

变换矩阵的参数估计

如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？

一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。

参考

Image Alignment and Stitching: A Tutorial

wiki: Affine transformation

Geometric Transformation

Coordinates and Transformations

Transformations

Geometric Transformations

Image Geometry

原文链接： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html