Question

已知a,b,c是不全相等正数,求证（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>6

Answer 1

利用不等式.a^2+b^2≥2ab
我先给你推出不等式.由完全平方公式(a-b)^2=a^2-2ab+b2≥0,得a^2+b^2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)
a,b,c都是正数,把式子变成平方形式：
(√b/a)^2+(√a/b)^2+(√c/a)^2+(√a/c)^2+(√c/b)^2+(√b/c)^2
≥2√(b/a)*√(a/b)+2√(c/a)*√(a/c)+2√(c/b)*√(b/c)
=2+2+2=6
当且仅当b/a=a/b c/a=a/c c/b=b/c
即a=b=c时取等号.
又a,b,c是不全相等正数,
使得原式取不到等号.
所以,（b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>6
Q.E.D