Question

高等代数理论基础12：对称多项式

Answer 1

定义：若n元多项式 对任意的 ,都有 ,则称为对称多项式

即任意对换两个文字的地位, 恒不变,则它是一个对称多项式

注：对称多项式的和、积以及对称多项式的多项式还是对称多项式

若 是n元对称多项式,则 是n元对称多项式

其中 都是n元堆成多项式

注：初等对称多项式的多项式还是对称多项式,任一对称多项式都能表成初等对称多项式的多项式

定理：对任意一个n元对称多项式 都有一个n元多项式 使得

证明：

注：证明过程即为把一个对称多项式表位初等对称多项式的多项式的过程

定理：任一n元对称多项式 有唯一确定的 使得

例：把三元对称多项式 表为 的多项式

解：

注：对 ,差积的平方 是一个重要的对称多项式

按对称多项式基本定理

D可表成多项式

由根与系数的关系可知

是f(x)的根

是方程在复数域上有重根的充分必要条件

称 为一元多项式f(x)的判别式

例：

1. 的判别式为

2. 的判别式为