Question

a是无理数，在什么情况下a^2+a是有理数？

Answer 1

把 a 分解成两个部分：a = m + √n，或中 m、n 都是有理数，但 √n 是无理数。
那么：
a² + a
=(m+√n)² + (m+√n)
=(m²+n+2m√n) + (m + √n)
=(m²+m+n) + (2m+1)√n
很显然，m²+m+n 是有理数。要使 a²+a 为有理数，那么就一定需要 (2m+1)√n 也是有理数。所以就必须有：
(2m+1) = 0。即 m = -1/2
也就是说，a = -1/2 + √n，且 n 不是一个完全平方数时，a²+a 就是有理数。