Question

求过程！写纸上拍照谢谢！

Answer 1

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，2Snn=an+1−13n2−n−23，n∈N∗.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74.
数列的求和；数列递推式．
（1）利用
2Sn
n
=an+1-
1
3
n2-n-
2
3
，代入计算，即可求a2的值；
（2）再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（3）分类讨论，证明当n≥3时，n2＞（n-1）•（n+1），可得
1
n2
＜
1
(n−1)•(n+1)
，利用裂项法求和，可得结论．
(1)∵2Snn=an+1−13n2−n−23，n∈N。
∴当n=1时,2a1=2S1=a2−13−1−23=a2−2.
又a1=1,∴a2=4.
(2)∵2Snn=an+1−13n2−n−23，n∈N。
∴2Sn=nan+1−13n3−n2−23n=nan+1−n(n+1)(n+2)3，①
∴当n⩾2时,2Sn−1=(n−1)an−(n−1)n(n+1)3，②
由①−②,得2Sn−2Sn−1=nan+1−(n−1)an−n(n+1)，
∵2an=2Sn−2Sn−1,∴2an=nan+1−(n−1)an−n(n+1)，
∴an+1n+1−ann=1,∴数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列。
∴ann=1+1×(n−1)=n,∴an=n2(n⩾2)，
当n=1时,上式显然成立.∴an=n2,n∈N∗.
(3)证明：由(2)知,an=n2,n∈N∗，
①当n=1时,1a1=1<74，∴原不等式成立。
②当n=2时,1a1+1a2=1+14<74，∴原不等式成立。
③当n⩾3时,∵n2>(n−1)⋅(n+1)，
∴1n2<1(n−1)⋅(n+1)，
∴1a1+1a2+…+1an<1+11×3+12×4+…+1(n−2)⋅n+1(n−1)⋅(n+1)=1+12(11−13+12−14+13−15+…+1n−2−1n+1n−1−1n+1)=1+12(32−1n−1n+1)<74，
∴当n⩾3时，∴原不等式亦成立。
综上,对一切正整数n,有1a1+1a2+…+1an<74.