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构造函数法在解题中的应用

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构造函数法在解题中的应用

摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。
关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用
函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。
函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。
根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。
一、构造函数解决有关不等式的问题
有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。
例1：若 ，则 的大小关系是 。
分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数 进行判断。
解：构造函数 ，易证函数 在其区间 是单调递增函数。
例2(2008年山东理)：已知函数 其中 为常数。当 时，证明：对任意的正整数 ，当 时，有
证法一：因为 ，所以 。
当 为偶数时，令 则 （ ）所以 当 时， 单调递增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。当 为奇数时，要证 ，由于 ，所以只需证 ，令 ，则 （ ），所以，当 时， 单调递增，又 ，所以当 时，恒有 ，即 命题成立。
综上所述，结论成立。
证法二：当 时， ，当 时，对任意的正整数 ，恒有 ，故只需证明 。令 则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，因此 当 时， ，即 成立。故 当 时，有 ，即 。
试题分析：第二问需要对构造的'新函数 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。
评注：函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性。
二、构造函数解决数列中的有关问题
数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系.
例3：在等差数列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) , 求 Sp+q 的值。
略解：因为 是n的一次函数，点( n , ) 共线，所以点 （p , ） , ( q , ) , ( p + q , ) 共线， 则有 化简即得 Sp+q = －( p + q ) 。
例4：等差数列{ }的首项 ,前 项的和为 ,若 ,问 为何值时 最大?
简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。
解:依题意,设此函数是以 为自变量的二次函数。
故二次函数 的图象开口向下当 时, 最大,但 中, 当 为偶数时, 时, 最大当 为奇数时, 时, 最大。
三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题
方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数。
例5(2010上海文科数学)：若 是方程式 的解，则 属于区间()
A. （0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）
解析：
知 属于区间（1.75，2）
例6（2010天津文科数学）：设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是________。答案：m<-1 解析：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。