Question

贝塞尔曲线原理(实现图真漂亮)

Answer 1

Bézier curve( 贝塞尔曲线 ) 是应用于二维图形应用程序的 数学曲线 。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家 Pierre Bézier 第一个研究了这种 矢量 绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

原理和简单推导（以三阶为例）：

设 P 0、 P 02、 P 2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过 P 0和 P 2点的两切线交于 P 1点，在 P 02点的切线交 P 0 P 1和 P 2 P 1于 P 01和 P 11，则如下比例成立：

这是所谓抛物线的三切线定理。

当 P 0， P 2固定，引入参数 t ，令上述比值为 t :(1- t )，即有：

t 从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：

当 t 从0变到1时，它表示了 由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。

并且表明：

这 二次Bezier曲线P 02可以定义为分别由前两个顶点( P 0, P 1)和后两个顶点( P 1, P 2)决定的一次Bezier曲线的线性组合**。

依次类推，

由四个控制点定义的三次Bezier曲线 P 03可被定义为分别由( P 0, P 1, P 2)和( P 1, P 2, P 3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由( n+ 1)个控制点 P i ( i =0,1,..., n )定义的 n 次Bezier曲线 P 0 n 可被定义为分别由前、后 n 个控制点定义的两条( n -1)次Bezier曲线 P 0 n- 1与 P 1 n- 1的线性组合：

由此得到Bezier曲线的递推计算公式

这就是这就是de Casteljau算法，可以简单阐述三阶贝塞尔曲线原理。

下面是总结：转自 http://blog.csdn.net/tianhai110/article/details/2203572

Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的 数学曲线 。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种 矢量 绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

以下公式中：B(t)为t时间下 点的坐标；

P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线(线段)：

意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段

二阶贝塞尔曲线(抛物线)：

通用公式：

原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。

由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。

由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

经验：P1-P0为曲线在P0处的切线。

三阶贝塞尔曲线：

通用公式：

高阶贝塞尔曲线：

4阶曲线：

5阶曲线：

@公式概述就Ok了，它的原理都在公式里，有兴趣4阶，5阶可以百度一下。