Question

我有无数种方法四等分正方形

Answer 1

有多少种方法四等分一个正方形？我有无数种方法！

有多少种方法四等分一个正方形？我有无数种方法！

要将一个正方形四等分，每一块的大小、面积和形状完全相等，有多少种方法（如图1所示）？

图1 正方形

请你在脑中想想或者拿笔画一画，你有多少种方法，2种？3种？4种？

大部分人能想到下列三种方法，一种是将正方形分成4个小正方形，一种是连接对角线分成4个三角形，还有一种是将正方形分成4个长方形（如图2所示）。

图2 常用三种等分方法

这里我加一个限定条件，就是如果两种分法中的1等分如果可以互相重合，那么属于同一种分法，比如竖着将正方形分成4个长方形和横着分成4个长方形，其中的一份可以完全重合，应该算是一种方法（如图3所示）。

图3 不同分法相同结果

解决问题有6种主要的方法，分别是拆分、类比、联想、追本溯源、广义动量定理和系统思考（如图4所示）。

图4 通用方法论

这次我们使用联想的方法来解决4等分正方形的问题，联想是一种非常有效的解决问题的方法，它帮助我们无限的扩展思维。

除了以上三种4等分正方形的方法，你还能想到多少种方法？每一种方法是受到什么启发来的呢？

我说我有无数种方法四等分正方形，你相信吗？

下边我来讲解一下由联想而获得的几大方法。

1 ）联想到二分法

4等分正方形，我首先联想到了二分法，二分法是一种拆分方法，用来降低问题的难度，问题的难度降低了，问题就容易解决了。我们将正方形从中间一分为二，只需要将左边的长方形分成完全两个相同图形就行，右边按照左边的方法解决，就获得了4等分正方形的方法。

被竖线分成长方形之后，我们只需要考虑如何将长方形分成两个相同的图形，哪些图形可以组成长方形呢？我们可能会联想到长方形、正方形、三角形，这样我们就获得了3种方法，最常用的三种分法，也可以通过二分法来获得（如图5所示）。

图5 二分法等分1

稍微思考一下，我们还有联想到2个梯形也可以组成长方形，并且梯形的斜边可以是各种角度，这就有了无数种方法（如图6所示）。

图6 二分法等分成梯形

我们还可以联想到俄罗斯方块的L形也可以组成长方形，而L形的变化也是多样的，也可以衍生出无数种方法（如图7所示）。

图7 二分法等分为L 形

这些方法只是开胃菜，我们看看下边的方法。

2 ）联想到拼图

我们还可能联想到拼图，拼图可以通过相同的小块，拼接成各种形状，比如4种不同颜色的小块，拼成了一个类似正方形的形状，我们稍微观察一下就会发现，每种颜色凸起的地方填到凹陷的地方，就会变成正方形，并且4个小块是完全一样的，也就是说我们可以通过构造拼图小块的方式来4等分正方形（如图8所示）。

图8 拼图

每个小块的凸起正好可以填满自己的凹陷，凸起的小块可以是个圆形，正方形，三角形或者正方形和三角形的组合（如图9所示）。

图9 拼图法四等分正方形

拼图的凸起可以是任意形状，这样我们就有了无数种四分正方形的方法。

3 ）联想到榫卯结构

我们还可以联想到榫卯结构，或者问两块正方形的木头是如何拼接到一起的，也会联想到榫卯结构。有些榫卯结构的2块木头几乎是完全一样的（如图10所示）。

图10 榫卯结构

我们只需要将榫卯结构的2块木头做成完全一样，就获得了另外一种四等分正方形的方法，榫卯结构的连接处可以是长方形，三角形或者其他图形（如图11所示）。

图11 榫卯结构法四等分正方形

榫卯结构的连接点可以是任意个长方形、三角形或者其他形状，这样我们就获得了无数种四等分正方形的方法。

4 ）联想到瓷砖

正方形的东西，我们很容易就会联想到瓷砖，几乎每家的厕所和厨房都会有瓷砖。我们也经常会看到正方形的瓷砖中间有一个上下左右对称的图案（如图12所示）。

图12 中间对称图形的瓷砖

我们把中间的小圆形转45度，然后每个小半圆和旁边的图形就能组合成新的图形，而这4个图形还是完全一样的，这样我们就又获得一种四等分正方形的方法（如图13所示）。

图13 瓷砖法四等分正方形1

中间的圆形可以转不同的角度，比如60度，这样就可以组合成无数个新的图形。中间的图形可以是正方形或者正八边形（如图14所示）。

图14 瓷砖法四等分正方形

中间的图形只要是上下左右对称的图形就行，四边形、八边形、十六边形或者其他对称图案等等，这样我们就得到了无数种四等分正方形的方法。

5 ）十字旋转

我们发现连接对角线和分成4个小正方形的方法，都包含了一个十字，只是十字绕中心转得角度不同，那么如果十字转成其他角度，是不是也可以啊？

我们将十字旋转不同的角度，发现获得的四个小图形是完全相同的，那么十字旋转就可以是一种四等分正方形的方法（如图15所示）。

图15 十字旋转法四等分正方形

十字可以转成无数角度，所以我们就获得了无数种四等分正方形的方法。

6 ）联想到对称

正方形是一个上下、左右完全对称的图形，那么我们是否可以利用正方形的中心点来解决四等分正方形问题呢？

我们通过正方形的中心向一边画1条曲线，然后这条曲线分别旋转90度，180度和270度，这样正方形就被分成了四份，并且是完全相同的四份（如图16所示）。

图16 中心对称法四等分正方形

我们可以从正方形中心向一条边随便的画一天任意形状的曲线，然后进行如上的旋转，就能四等分一个正方形，由于曲线是由无数种形状，我们也就有了无数种四等分正方形的方法。

7 ）二分法+ 对称

我们也可以通过二分法和对称组合的方式来解决四等分正方形的问题。左边的长方形是上下、左右对称的，有一个中心点，我们通过中心点画一条到长方形一边的曲线，然后这条曲线绕中心点旋转180度，这样长方形就被分成了2部分，并且2部分是完全相同的（如图17所示）。

图17 二分法+ 对称四等分正方形

我们通过长方形的中心点，可以画无数种到一边的曲线，这样我们就有了无数种四等分正方形的方法。

8 ）联想到马赛克

正方形也很容易联想到马赛克，马赛克是由无数小正方形组成的图形。小正方形也可以组合成各种图形（如图18所示）。

图18 马赛克

如果我们把正方形分成8×8=64个小正方形，然后我们再去研究如何组合（如图19所示）。

图19 分析64 个小正方形

四分之一的大正方形包含16个小正方形，这些小正方形可以组合成各种形状，另外三等分正方形也可以组合成一样的形状（如图20所示）。

图20 马赛克法四等分正方形

这样我们就有无数种四等分正方形的方法。因为以上的其他方法的1/4图形都是一个完整的图形，如果题目有这个隐含的要求，那么马赛克组合的方式是不可以的。

除了第八种马赛克组合的方法有争议外，其他的其中大方法每一种都能演化出无数种四等分正方形的方法。

我们可以使用一张思维导图来总结以上的四等分正方形的方法（如图20所示）。

图21 四等分正方形的思维导图

你都联想到了哪些四等分正方形的方法呢？