Question

高等数学(三) 微分中值定理及导数的应用

Answer 1

如果函数f(x)在x ₀ 处可导，且在x ₀ 处取得极值，那么f'(x ₀ )=0

若1）f(x)在[a,b]上连续
2）f(x)在(a,b)内可导
3）f(a)=f(b)
则 ，使得

若1）f(x)在[a,b]上连续
2）f(x)在(a,b)内可导
则 ，使得

若1）f(x)，F(x)在[a,b]上连续
2）f(x)，F(x)在(a,b)内可导，且F'(x)≠0
则 ，使得

设f(x)在(a,b)内可导，那么

其中 ，特别地，当x ₀ =0时，将其称为麦克劳林公式

设f(x)在含x ₀ 的区间(a,b)内n+1阶可导，那么对 ，至少存在一个 ，使

其中

定理7 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导
1）若在(a,b)内f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增
2）若在(a,b)内f'(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减

若 ，使得 恒有f(x)≥f(x ₀ )，则称f(x)在x ₀ 取极小值
若 ，使得 恒有f(x)≤f(x ₀ )，则称f(x)在x ₀ 取极大值

定理8 极值的必要条件
若f(x)在x ₀ 处可导，且在x ₀ 取得极值，则f'(x)=0

定理9 极值的第一充分条件
设f(x)在 内可导，且f'(x)=0（或f(x)在x ₀ 处连续）
1）若x<x ₀ 时，f'(x)≥0；若x>x ₀ 时，f'(x)≤0，则f(x)在x ₀ 处取得极大值
2）若x<x ₀ 时，f'(x)≤0；若x>x ₀ 时，f'(x)≥0，则f(x)在x ₀ 处取得极小值
3）若f'(x)在两侧不变好，则f(x)在x ₀ 无极值

定理10 极值的第二充分条件
设f'(x)=0，f''(x)≠0，则
1）当f''(x)<0，则f(x)在x ₀ 处取得极大值
2）当f''(x)>0，则f(x)在x ₀ 处取得极小值

定义3
曲线是凹的
曲线是凸的

定理11 若在区间I上f''(x)>0（<0），则曲线y=f(x)在I上是凹的（凸的）

定义4 拐点
拐点即为凹向发生变化的点

1）若 ，那么y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线
2）若 ，那么x=x ₀ 是曲线y=f(x)的垂直渐近线
3）若 ， ，那么y=ax+b是曲线y=f(x)的斜渐近线

曲率
曲率半径