Question

如何求旋转体的表面积？

Answer 1

它位于x=2平面上，因此旋转所得为一组同心圆环（随参数t变动范围呈圆环或圆盘或整个x=2平面），同心圆方程为y^2+z^2=13t^2；如果x也是t的线性函数，旋转所得为一圆台面或圆锥面（或对顶锥面）。

例如：椭圆绕x轴一周后，立体的表面积为（4/3)πab^2，计算方法如下。

（1）

设：X=x/a,Y=y/b

S=∫∫dxdy (其中x从－a到a,y从－b到b)

=ab∫∫dXdY (其中X从－1到1,Y从－1到1)

=ab*半径为1的圆的面积

＝πab

（2）

设：椭球方程x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

再设：X=x/a,Y=y/b,Z=z/c

V=∫∫∫dxdydz (其中x从－a到a,y从－b到b,z从－c到c)

=abc∫∫∫dXdYdZ (其中X从－1到1,Y从－1到1,Z从－1到1)

=abc*半径为1的球的体积

=(4/3)πabc

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,分别绕轴x、y轴旋转的旋转体的体积

分别为：(4/3)πab^2,(4/3)πba^2

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示