Question

上极限和下极限的定义

Answer 1

上极限是指收敛子数列的极限值的上确界值，下极限是指收敛子数列的极限值的下确界值。

给定无穷数列（xn），它的一切收敛子数列的极限值的上确界值，称为该无穷序列的上极限。依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。

上下极限的一个定义过程，首先在散乱数列上定义出一个单调列，然后在单调列上定义极限，对于集合列也是一样的定义方式。对于抖动的数列，同样可以定义上下极限。上下极限仅与无穷项有关，将抖动的极限限制于一个范围，比如0，1，0，1，0，1通常极限无定义，上极限为1，下极限为0。当上下极限相等时，通常极限才有定义。

抖动数列的下极限定义，通过不断排除前面的点，剩余数列的下确界不断增大，单调不减，可以定义极限，就是下极限。类似的，任意集合列，可以首先定义单调不减集合列，也就是含于集列中的任何集合的最大子集，所谓集合的下限集，然后在下限集列上定义极限集。就是下极限集。上限集可类似定义。