Question

X1+X2+X3+X4=1;3X1+2X2-X3-X4=0;X2+4X3+4X4=3解线性方程组怎么算？

Answer 1

X1+X2+X3+X4=1;
3X1+2X2-X3-X4=0;
X2+4X3+4X4=3
方程组增广矩阵 (A, b) =
[1 1 1 1 1]
[3 2 -1 -1 0]
[0 1 4 4 3]
初等行变换为
[1 1 1 1 1]
[0 -1 -4 -4 -3]
[0 1 4 4 3]
初等行变换为
[1 0 -3 -3 -2]
[0 1 4 4 3]
[0 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 4, 方程组有无穷多解。
方程组化为
x1 = -2 + 3x3 + 3x4
x2 = 3 - 4x3 - 4x4
取 x3 = x4 = 0， 得 AX = b 特解 (-2, 3, 0, 0)^T;
导出组为
x1 = 3x3 + 3x4
x2 = - 4x3 - 4x4
取 x3 =1， x4 = 0， 得 AX = 0 的基础解系 (3, -4, 1, 0)^T；
取 x3 =0， x4 = 1， 得 AX = 0 的基础解系 (3, -4, 0, 1)^T.
原方程组 AX = b 的通解是 x = k (3, -4, 1, 0)^T + c(3, -4, 0, 1)^T + (-2, 3, 0, 0)^T