Question

二阶微分方程

Answer 1

二阶微分方程如下：

对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，通常就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。

二阶线性微分方程形如 y’’+ P(x) y’+Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’=F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。

常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法：

1、f(x) = e^ax^Pm(x)型。

2、f(x) = e^ax^[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型。

要点

1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系。

2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢。

3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

4、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)。

当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。

5、二阶非齐次方程的通解 Y + y*。

可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法。